шпоры матем (1)



1. Обозначение множеств: большими латинскими буквами. Объекты, из которых состоит множество называются элементами множества. Обозначаются малыми буквами, например а∈ А(элемент а принадлежит множеству А)

Если множество содержит конечное число элементов , оно называется конечным. Знак пустого мнва- пустое множество.(нет элементов)

Множество можно задать перечислением (конечное). Или задать свойство, которым обладают все элементы множества. А = {пн, вт, ср, чт, пт, сб, вс} пн ∈ А, февраль ∉ А

Числовые множества.

Элементы = числа. N – мнво натуральных чисел, Z- мнво целых чисел, Q – мнво рациональных чисел, R – мнво действительных чисел.

Опр. Окрестность Х0 ∉ R –произвольный интервал, содержащий эту точку внутри себя. И тут какой-то дибилизм про окрестность Е, в котором все понятно и без определения, прикладываю фото (1)

Конечные множества. Если множество конечно, то и количество подмножеств также конечно. Теор. Количество подмножеств конечного множества (осн теор). Число подмножеств конечного множества содержащего n элементов равно n2 (не думаю, что нужно доказательство) Доказат методом мат индукции

Бесконечное множество — множество, не являющееся конечным. Можно дать ещё несколько эквивалентных определений бесконечного множества:

Множество, в котором для любого натурального числа  найдётся конечное подмножество из  элементов.

Множество, в котором найдётся счётное подмножество.

Множество, в котором найдётся подмножество, равномощное некоторому (ненулевому) предельному ординалу

Множество, для которого существует биекция с некоторым его собственным подмножеством.

Подмножество.

Опр. Множество А называется подмножеством мнва В (А⊂В) если каждый элемент мнва А является также элементом мнва В. В- надмножество А.

N⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Пустое мнво – подмнво любого мнва, Еще А⊂А.; Опр. А=В, А⊂В, В⊂А; А={x∈R: х2+5х+4=0} В={-1; -4} они равны

2. Опр. Сумма ( объединение ) множеств  А и В ( пишется  А  В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В. Таким образом,  е  А  В  тогда и только тогда, когда либо  е  А ,  либо  е  В .  

Опр. Произведение ( пересечение ) множеств  А и В ( пишется  А  В , рис.2 ) есть множествоэлементов, каждый из которых принадлежит и А , и В . Таким образом,  е  А  В  тогда и только тогда, когда   е  А  и  е  В . Если эти штуки не пересекаются, тогда результатом будет пустое множество.

Опр. Разность множеств А и В ( пишется  А – В , рис.3 ) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А , но не принадлежат множеству В. Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А.

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Опр. В принадлежит А, САВ(дополнение В до А) = А\В

Опр. Все мнва, которые рассматриваются в том или ином рассуждении, являются подмножеством некоторого фиксированного множества I – универсального мнва.

Другой способ показать операции – таблица вхождения элементов в мнво. В таблице рассматриваются все возможные случаи вхождения выбранного элемента в мнво А и В и в их комбинации. Результат принадлежности этого элемента множествам А и В отмечают в первых 2х столцах таблицы по правилу : 1 – если э-т входит в данное мнво, ставим 0 если не входит. Столбцы, сообветствующих операций объединяются, заполняются согласно определению этих операций

Свойства операций над множествами:

Перемест закон

A ∪ B = B ∪ AA ∩ B = B ∩ A

Сочетат закон:

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

закон идентичности (сохранение) A∩A=A, A U A = A

Распредел закон: А∩ (B U C) = (A∩B)U(A∩C);A U(B∩C) = (A U B)∩(A U C)

Правило де моргана СI(A∪ B) = (CIA) ∩ (CIB); CI(A∩B)=(CIA) ∪ (CIB)

6)A∪=A A ∩ I=A

7)A ∪ (CIA)=I A∩ (CIA)= пустое мн-во

3. Комбинаторика – область матеметики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из конечного числа заданных объектов (часть теории множеств). Любую комбинаторную задачу можно выразить, используя понятия конечного множества. Правило суммы : если элемент а из конечного множества можно выбрать m-способами, а элемент b – n-способами. Причем, любой выбор элемента a не совпадает каким-либо способом с выбором элемента b, то выбор элемента «a или b» можно осуществить способом m+n. Правило произведения: если элемент a из конечного множества можно выбрать m –способами и после любой из этих элементов можно выбрать b n-способами, то выбор «a и b» может быть осуществлен способом m*n. Правило суммы и правило произведения можно распространить на выбор любого конечного числа элементов.Виды комбинаций: n ∈ N n! – произведение всех натур чисел от 1 до n включительно. Опр. Рассмотрим некоторое мнво, состоящее из n элементов. Если в множестве введено отношение порядка, то есть определено какой элемент множества за каким следует или какому предшествует, то множество называются упорядоченным. Размещениями из n элементов по m элементов (m < n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по mэлементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов. Число размещений без повторений из n по m (n различных элементов) вычисляется по формуле:

Размещениями с повторениями из n элементов по m называются упорядоченные m-элементные выборки, в которых элементы могут повторяться. Число размещений с повторениями вычисляется по формуле: Перестановками из n элементов называются размещения из этих n элементов по n (Перестановки — частный случай размещений).

Число перестановок без повторений (n различных элементов) вычисляется по формуле: Число перестановок c повторениями (k различных элементов, где элементы могут повторяться m1, m2, …, mk раз и m1 + m2+… + mk = n, где n — общее количество элементов) вычисляется по формуле: Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по mэлементов, которые различаются хотя бы одним элементом (отличие сочетаний от размещений в том, что в сочетаниях не учитывается порядок элементов). Подсчитаем количество способов, которыми можно выбрать  из  различных предметов. Такие выборки называются сочетаниями, а их количество обозначается . При , выбрать k предметов из n можно  способами, переставляя их  способами:

.Число сочетаний c повторениями (n элементов, взятых по m, где элементы в наборе могут повторяться) вычисляется по формуле:

4.1.Матрицей называется прямоугольный набор чисел, заключенный в круглые скобки. Прямоугольной матрицей размера m´n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде

                              Или сокращенно в виде A = (a i j ) (i =  ; j =  ). Числа a i j, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй — на номер столбца. Две матрицы A = (a i j ) и B = (b i j ) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a i j = b i j. Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m´n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами.Если все элементы a i i диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е.  Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху. Пусть дана матрица. Переставим строки со столбцами. Получим матрицу,которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

4.2. 1. Сложение матриц — поэлементная операция

2. Вычитание матриц — поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число — поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

Amk*Bkn=Cmn причем каждый элемент сij матрицы Cmn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B .

5. Возведение в степень Am=A*A*A(m раз)

m>1 целое положительное число. А — квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А(перемена местами строк и столбцов). Транспонированную матрицу обозначают AT или A’

Свойства операций над матрицами

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(A’)’=A

(λA)’=λ(A)’

(A+B)’=A’+B’

(AB)’=B’A’

5. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). Определитель матрицы А обозначается как: det(A)|А| или Δ(A). Минором элемента aij матрицы А(n*n) называется определитель матрицы ((n-1)*(n-1)), полученный из матрицы А вычеркиванием i-строки и j-столбца. Для детерминанта размерности более 3х используется теорема Лапласа, до 3х-по звезде.

Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

Для матрицы  детерминант определяется как

Для матрицы  определитель задаётся рекурсивно:

,    где  — дополнительный минор к элементу . Эта формула называется разложением по строке.

В частности, формула вычисления определителя матрицы  такова:

Также справедливо и аналогичное разложение по любой строке (столбцу):

Алгебраическим дополнением эдемента aij называется выражение Aij=(-1)i+j*Mij.

Следствие: Если м.А(m*n), |A|=сумма(от i=1 до n) от aij*Aij для разложения м.А по j-столбцу j={1,2,…n}, |A| = сумма(от j=1 до n) от aij*Aij для разложения м.А по i-строке.

Свойства

A(n*n), |AT| = |A|

A(n*n), k = {1,…n}

1)|A| = 0 2)В полученной м.А умножением k-строки/k-столбца на число С, то |B| = C*|A| 3)Если любой элемент akj в к-строке м.А = a’kj +a’’kj, j={1,..,n}, то |A| = |A’| + |A’’|, где А’ и A’’ получены из А заменой элементов akj элементы a’kj и a’’kj (аналогично и для столбцов).

Если матрица В получена из м.А переменой местами 2х строк или столбцов, то |B| = -|A|.

Если 2 строки или столбца пропорциональны, |A| = 0,aij = ci * axj, j={1,..,n}

Если м.В получена из м.А умножением к-строки на константу С и прибавлением результата к i-строке, где i !=к, то |B|=|A|.

6. Матрицы называются взаимнообратными, если А*В=В*А=Е.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Теорема о вычислении обратной матрицы: м.A(n*n), detA!=0,тогда существует единственная м., обратная к матрице А. А* — присоединенная м., матрица, состоящас из алгебраических дополнений к элементу aij матрицы А.

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы

, где  обозначает определитель.

 для любых двух обратимых матриц  и .

 где  обозначает транспонированную матрицу.

 для любого коэффициента  .

-1)-1 = А

Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b — ненулевой вектор) где  — искомый вектор, и если  существует, то . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Матричные уравнения могут иметь вид: АХ = В, ХА = В, АХВ = С, где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы. Например, чтобы найти матрицу  из уравнения , необходимо умножить это уравнение на  слева.Тогда:

Следовательно, чтобы найти решение  уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.



Яндекс.Метрика